20190228 三角錐は三次元だから3で割る

この記事のこと覚えてますか ?? 頭脳明晰な小学生の家庭教師を頼まれて、あるとき「三角形の面積は底辺と高さの積を2で割るが、では三角錐の体積は底面と高さの積を3で割るのはなぜか」という雑談になったときに、こやつが「三角形は二次元やから2で割る、三角錐は三次元やから3で割る」と抜かしやがったのを数学的に証明しようとして私の方が逆にやり込められた話。

　図解から、一つの三角柱は底面積と高さの積を同じくする三つの三角錐に分割できるが、その三つの体積が等しいことが証明できれば、「三角錐の体積は底面と高さの積を3で割る」ことが証明できるというもの。で、推論は「底面と高さの積の等しい二つの三角錐の体積は等しい」ことが証明できれば全体が証明できるところまできて止まってしまっていた。

　解決しました。つまり、三角形は底辺から垂直に伸びる無数の直線の集合体が面を形成していると考えられることから、三角錐も底面から垂直に立つ無数の三角形の集合体と考えることができる。ならば、面積の同じ三角形を底辺に持つ三角錐は、その三角形を構成する無数の垂直線を底辺とする無数の三角形の集合体であるから、その体積は等しいことになる。極めて文系的な数学へのアプローチであって、理系の人ならさっさと積分法を持ち出して5分で片付けるところであろうが、いやずっと耳たぶの下あたりに引っかかってて気持ち悪かったのがやっと取れた。